Dziesiętny system liczbowy



System dziesiętny (z łacińskiego decem), zwany także systemem liczb pozycyjnych o podstawie 10. Jest standardowym systemem oznaczania liczb całkowitych i niecałkowitych. Jest to rozszerzenie hindusko-arabskiego systemu liczbowego na liczby niecałkowite. Sposób oznaczania liczb w systemie dziesiętnym jest często określany jako notacja dziesiętna. System liczbowy, który wykorzystuje liczbę 10 jako podstawę, może być również określany jako system dziesiętny.

Z reguły rozumie się przez to konkretnie system dziesiętny z systemem wartości miejsc, który został opracowany w oparciu o cyfry indyjskie, został on przekazany do krajów europejskich za pośrednictwem arabskiej mediacji i jest obecnie uznawany na całym świecie jako międzynarodowy standard.

Jednak systemy dziesiętne są również systemami liczbowymi opartymi na 10 bez systemu wartości miejsc, z których niektóre są oparte na systemie piątym lub innym systemie liczbowym, cyframi wielu języków naturalnych i starszymi cyframi.

Antropologicznie, pojawienie się systemów dziesiętnych – i piątkowych – wiąże się z pięcioma palcami dwóch ludzkich rąk. Służyły one jako pomoce do liczenia i arytmetyki (arytmetyka palców). To wyjaśnienie jest poparte cyframi oznaczającymi 5 („ręka”) i 10 („dwie ręce”) w niektórych językach.

System wartości miejsca dziesiętnego

W systemie dziesiętnym jest używane dziesięć znaków do zapisu złożonych wartości:

0 (zero), 1 (jeden), 2 (dwa), 3 (trzy), 4 (cztery), 5 (pięć), 6 (sześć), 7 (siedem), 8 (osiem), 9 (dziewięć),

Każda cyfra ma wartość liczbową oraz, w zależności od jej pozycji, wartość miejsca. Wartość liczbowa jest w konwencjonalnej kolejności liczenia. Cyfry są zapisywane jedna po drugiej bez separatorów, przy czym najbardziej znacząca cyfra to znajduje się po lewej stronie.

Rozwój ułamków dziesiętnych

Za pomocą rozszerzenia ułamków dziesiętnych możesz przypisać sekwencję cyfr do każdej liczby rzeczywistej. Każda skończona część tego ciągu określa ułamek dziesiętny, który jest przybliżeniem liczby rzeczywistej. Sama liczba rzeczywista jest uzyskiwana przez przejście od skończonych sum części do nieskończonego szeregu po wszystkich cyfrach.

Mówi się, że opracowywanie ułamków dziesiętnych kończy się, gdy ciąg cyfr z pozycji n składa się tylko z zer, tzn. wyświetlana liczba rzeczywista sama w sobie jest już ułamkiem dziesiętnym. Zwłaszcza w przypadku wszystkich liczb niewymiernych sekwencja cyfr nie urywa się; istnieje nieskończone rozwinięcie ułamka dziesiętnego.

Kropka

W matematyce okres ułamka dziesiętnego to cyfra lub sekwencja cyfr, która powtarza się w kółko po przecinku. Wszystkie liczby wymierne i tylko one mają okresowe rozwinięcie ułamków dziesiętnych.

Skończone ułamki dziesiętne również zaliczają się do okresowych ułamków dziesiętnych; po wstawieniu nieskończonej ilości zer np. 0.12 = 0.12000...

Okresy rzeczywiste (tj. brak skończonych ułamków dziesiętnych) występują w systemie dziesiętnym dokładnie wtedy, gdy mianownik podstawowego ułamka nie może być wygenerowany wyłącznie przez czynniki pierwsze 2 i 5. 2 i 5 to czynniki pierwsze liczby 10, podstawy systemu dziesiętnego. Jeśli mianownik jest liczbą pierwszą p (z wyjątkiem 2 i 5), wtedy maksymalna długość okresu jest o jeden mniejsza od wartości mianownika (pogrubionej w przykładach).